クロネッカー の デルタ。 クロネッカーのδ

【フーリエ変換】フーリエ積分に現れる { exp(ikx) } の直交性(証明)

クロネッカー の デルタ

これはに単位行列を作用させても不変であることに対応する。 これは単位行列に単位行列を掛けたものは単位行列であることに対応する。 一般化されたクロネッカーのデルタ [編集 ] この節では、は 1 から n の間の値をとるものとする。 これを高階に拡張したものとして、 n次元、 2 p階の 一般化されたクロネッカーのデルタがある。 これは p, p 型テンソルで、上下それぞれの添字に対してである。 ただし、チェックが付いた項は式から外されるとする。 逆にエディントンのイプシロンの定義と考えることもできる。 これより、以下の演算規則が導かれる。 出典 [編集 ]• Theodore Frankel, The Geometry of Physics: An Introduction 3rd edition 2012 , published by Cambridge University Press, ISBN 9781107602601• Agarwal, Tensor Calculus and Riemannian Geometry 22nd edition 2007 , published by Krishna Prakashan Media• David Lovelock, Hanno Rund, Tensors, Differential Forms, and Variational Principles, Dover Publications• Sadri Hassani, Mathematical Methods: For Students of Physics and Related Fields 2nd edition 2008 , published by Springer-Verlag, ISBN 978-0387095035 関連項目 [編集 ]•

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【フーリエ変換】フーリエ積分に現れる { exp(ikx) } の直交性(証明)

クロネッカー の デルタ

クロネッカーのデルタは離散的な変数(自然数の集合など)に対して用いられるが、これを連続変数に対して拡張したものが ディラックのデルタ関数である。 クロネッカーのデルタ 定義 クロネッカーのデルタは以下のように定義される。 ディラックのデルタ関数 定義 ディラックのデルタ関数について、以下に2通りの定義を示す。 実用上は定義その2の理解で問題ない。 また、ディラックのデルタ関数は以下の性質を持つ。 の解説 性質1. は特に無限積分である必要はない。 性質2. の解説 ディラックのデルタ関数は偶関数である。 性質3. の解説 この式はディラックのデルタ関数の複素形フーリエ級数による展開を示したものである。 性質4.

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クロネッカーのデルタについてわかりやすく解説する

クロネッカー の デルタ

反対称はの添字を入れ替えると符号が変わるです。 例: またこの性質をもっており値が 1 or -1 or 0 の反対称を完全反対称といいます。 今回はこの完全反対称をのデルタで展開する方法を紹介します。 公式としては面倒なのでどのように書くか、どのように考えて展開できるかを話していきます。 添字の順番が123に対して偶置換か奇置換で次のように定義されます。 例 : また添字のいずれかが同じ時は0になります。 例 : これを例にしてこの和をのデルタで展開します。 考え方 導出 完全反対称について考えるときにはその反対称性を考えることで上の式を導出していきます。 まず というのは4つ足がつくになるのでのデルタで展開したときに 2つのデルタの積のになることはすぐにわかります。 次に添字の反対称性に注目します。 これは と について反対称なです。 なのでのデルタをそのような添字の組になるように組み合わせます。 デルタの数を添字の数から考える まず について。 のデルタは対称なので が同じデルタにはつきません。 なのでまず適当に第一項のデルタのそれぞれに足をつけます。 反対称性から添字を付けいていく つぎに反対称になるように第二項には添字を逆に付け、かつ符号を逆にします。 これでまずは については反対称 つまり入れ替えるともとの符号が逆になったものになる になっていることがわかります。 についても同様にすると となることがわかります。 これでのデルタで と に対して反対称なを作ることができました。 比例定数を見つける。 いま言えることは は上の式に比例していること です。 なので比例定数 を求めます。 これはなにか添字に具体的な値を入れてしまえばよいです。 例えば の場合を計算してみます。 左辺は となります。 ここで完全反対称は添字に同じ数字があると0になることをつかって真ん中の式をすぐに出しました。 本当は の3パターンを足していることに注意してください。 また 1 式の右辺は となるので左辺と右辺の計算より となるので を導くことができました。 で書こう 上のように完全反対称をのデルタで書くには• 完全反対称の潰れていない足の個数を確認して1つの項ののデルタの積の数を決める。 反対称性からデルタに足を割り振っていく。 具体的な例を計算して比例定数を決める。 という手順で計算するのですが、面倒だし、の階数に対して応用が効きづらいところがあります。 なので、新たなより簡単でわかりやすい方法を考えます。 つまり右辺には添字の入れ替えに対して符号が変わるものになれば良いのです。 もうお気づきになったでしょうか というか上に書かれてしまっていますが。 そう、で表すことができます。 は列、もしくは行を入れ替えると符号が変わるという性質を持っています。 こちらを参考にしてください。 そうすると先程の式もで書くことができます。 での書き方は• まず左上に2つの のそれぞれから添字をとって作ったデルタを置きます。 ここでは があります。 その添字を行列の行、列のように扱っての中の行列の要素を埋めていきます。 まず一番左上の 1,1 成分は になったので、その右の 1,2 成分には添字 をとったから違う添字 をとってきて作ったデルタ を配置します。 このようにして他の部分も埋めていきます。 このようにしてで完全反対称をのデルタを使って表すことができます。 何かと便利なので使えるといいかと思います。 これについてはまた次回の記事にしたいと思います。 mashiroyuya.

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